Простейшие задачи в координатах

Даны точки А(1;-2), В(3;6), С(5;-2)

1. Найдите координаты векторов АВ, СВ

2. Найдите координаты точки М, делящей напополам отрезок АВ

3. Найдите длину медианы СМ

4. Является ли четырехугольник АВСD параллелограммом, если D(7;6)?

Объяснение:

A(1: - 2) , B( 3:6) , C(5;- 2)

1) Для того чтобы найти координаты вектора надо от координат конца вектора вычесть соответствующую координату начала вектора .

\vec{AB} ( 3-1; 6-(-2));\vec{AB}(2;8);\\\vec{CB} (3-5;6-(-2)); \vec{CB}(-2;8)

2) Координаты точки М -середины отрезка АВ  находятся

по формулам :

x{_M} =\frac{x{_A}+x{_B}}{2} ;y{_M} =\frac{y{_A}+y{_B}}{2} \\\\\x{_M} =\frac{1+3}{2} =\frac{4}{2} =2;\\\\y{_M} =\frac{-2+6}{2} =\frac{4}{2} =2;\\M(2; 2).

3) Найдем координаты вектора CM

\vec{CM} (2-5;2-(-2) );\\\vec{CM}(-3;4)\\|\vec{CM}|=\sqrt{(-3)^{2} +4^{2} } =\sqrt{9+16} =\sqrt{25} =5.

4) Если в четырёхугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Пусть точка О ( x; y) - середина диагонали АС . Найдем ее координаты по формулам координат середины отрезка.

x=\frac{1+5}{2} =\frac{6}{2} =3;\\\\y=\frac{-2+(-2) }{2} =\frac{-4}{2} =-2;\\\\O( 3;-2)

Найдем координаты середины диагонали BD

x=\frac{3+7}{2} =\frac{10}{2} =5;\\\\y=\frac{6+6}{2} =\frac{12}{2} =6

(5; 6) - середина диагонали BD

Так как координаты середин диагоналей не совпадают, то четырехугольник  ABCD  не является параллелограммом.