Определите угол при вершине осевого сечения конуса, если разверткой его боковой поверхности являеться сектор с дугой, равной 120 градусов.

Сектор - часть круга. Длина дуги сектора вычисляется по формуле: L=π*r*n/180°.В нашем случае n=120°, L=π*r(2/3).Заметим, что в этой формуле r = l - образующая конуса, а  L - это длина окружности нашего конуса. Радиус окружности основания конуса находим по формуле: L=2π*R или в нашем случае π*r*(2/3)=2π*R, отсюда R=π*r*2/(3*2π)=r/3.Теперь рассмотрим осевое сечение конуса.Это равнобедренный треугольник с боковыми сторонами - образующей конуса и основанием - диаметром окружности основания конуса.Причем высота конуса SH - это и биссектриса и медиана этого треугольника.В прямоугольном треугольнике SHC синус угла HSC равен отношению противолежащего катета (R) к гипотенузе (l=r) или Sin(<HSC)=(r/3)/r=1/3.Заметим, что <HSC - это половина искомого угла при вершине конуса (так как SH - биссектриса).По формуле Sinα=2Sin(α/2)*Cos(α/2)  найдем искомый угол α. Cosα=√(1-sin²α)=√(1-1/9)=√8/3.Sinα=2*(1/3)*(√8/3)=2√8/9.Ответ: угол при вершине конуса равен arcsin(4√2/9).α≈39°Угол при вершине осевого сечения конуса можно найти по теореме косинусов:Cosα=(a²+b²-c²)2ab, где α - угол между сторонами a и b треугольника.Тогда Cosα=(2r²-(4/9)r²)/2r² = 14/18=7/9≈0,777.α=arccos0,777 или α≈39°.