В прямоугольный треугольник АВС вписана окружность, которая соприкасается с гипотенузой треугольника в точке D, и в этой точке делит гипотенузу на отрезки длиной 5 и 12 см. Найти длину катетов треугольника, если радиус вписанной окружности равен 3 см.

Пусть дан ΔАВС∠В = 90°т.О - центр вписанной окружностиD, M, K - точки касанияOD = 3 cмAD = 5 cмDС = 12 смНайти: АВ, ВСАВ, ВС и АС - касательные к окружности с центром в т.ООтрезки касательных, проведенных из одной точки, равны ⇒АМ = AD = 5 cмСК = СD = 12 смВМ = ВК = х смАВ = х + 5ВС = х+12АС = 5 + 12 = 17 смПо теореме Пифагора:АВ = х + 5 = 3 + 5 = 8 смВС = х+12 = 3 + 12 = 15 смОтвет: 8 см и 15 см.