В квадрат вписан равносторонний треугольник таким образом, что одна вершина треугольника совпадает с одной из вершин квадрата. Найдите площадь треугольника, если известно, что сторона квадрата равна 10 см.

Внутри прямого угла квадрата, 90 градусов, симметрично расположен угол треугольника 60 градусов. Нижняя сторона квадрата, отрезок правой стороны квадрата и сторона треугольника образуют прямоугольный треугольник.Нас интересует его гипотенуза. Обозначим сторону квадрата a10/a = cos(15°)Для того, чтобы получить решение в радикалах, а не в непонятных arccos(15) воспользуемся формулами половинного углаcos²(α/2) = (1+cos(α))/2cos(15°) = √(1/2+cos(30°)/2) = √(1/2+√3/4) = 1/4(√2+√6)a = 10/cos(15°) = 10/(1/4(√2+√6)) = 10(√6-√2) смИ площадь треугольникаS = 1/2*a²*sin(60°) = 1/2*(10(√6-√2))²*√3/2 = 200√3-300 см²