Докажите методом от противного, что на окружности не существует четырёх различных точек А, В, С и D таких, что АВ = АС = АD. В противоречие с чем Вы приходите в своих рассуждениях?

Допустим, что такие четыре точки существуют и из одной точки окружности проведены три разные хорды равной длины. 

  Если из точки А как из центра  провести вторую окружность радиусом, равным длине этих хорд,  то по определению окружности точки В, С и D, равноудаленные от центра А, будут лежать  и на второй окружности. Тогда две окружности пересекутся в трех точках. Это противоречит теореме: 

Окружность и прямая, а также две окружности   могут пересечься не более, чем в двух точках.