Вариант 1 1. A и B – произвольные точки плоскости α. Прямая MN перпендикулярна плоскости α. Докажите, что MN перпендикулярна AB. 2. Треугольник MNP – правильный, точка C – его центр. Прямая CH перпендикулярна к плоскости MNP. а) Докажите, что HM = HN = HP. б) Найдите HM, если MN = 3, CH = 1.

Ответ: 2. б)   2

Объяснение:

1. Так как точки А и В лежат в плоскости α, то и все точки прямой АВ лежат в этой плоскости (аксиома 2).

Если прямая перпендикулярна плоскости,  то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости.

MN ⊥ α,  AB ⊂ α,  ⇒ MN ⊥ AB.

2.

а) Центр правильного треугольника является центром вписанной и описанной окружностей.

MC = NC = PC как радиусы окружности, описанной около треугольника MNP,

НС ⊥ (MNP), ⇒  ∠HCM = ∠HCN = ∠HCP = 90°,

НС - общий катет для треугольников HCM, HCN и НСР, значит,

ΔHCM = ΔHCN = ΔНСР по двум катетам. Следовательно

HM = HN = HP.

б) Треугольник правильный, поэтому радиус описанной окружности:

MC = MN√3 / 3 = 3√3 / 3 = √3

ΔHCM: ∠HCM = 90°, по теореме Пифагора

            НМ = √(МС² + НС²) = √(3 + 1) = √4 = 2