В треугольнике АВС проведены медианы АА1=9 и ВВ1=12,а сторона АВ=10. Чему равна площадь треугольника АВС и третья медиана?

Дано: Δ АВС, АВ=10, АА₁=9, ВВ₁=12.

Найти S(АВС), СС₁.

Решение: 

Применяем теорему: медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Следовательно, АО=6, ОА₁=3;  ВО=8, ОВ₁=4.

Рассмотрим Δ АВО - прямоугольный, "египетский", (т.к. стороны кратны 3, 4 и 5).

S(ABO)=1\2 * 6 * 8=24 (ед²)

S(ABO)=S(BOC)=S(AOC) (по свойству медиан треугольника)

S(ABC)=24*3=72 (ед²)

Δ АОВ - прямоугольный, ОС₁ - медиана, ОС₁=1\2 АВ (по свойству медианы прямоугольного треугольника); ОС₁=5.

ОС₁=5*2=10;  СС₁=5+10=15 (ед)