На стороне AB треугольника ABC отметили точку M так, что BM=CM, MK - биссектриса угла AMC. Докажите, что MK || BC.

ΔАВС, М является АВ, СМ = MB. МК - луч, МК - биссектриса ∟AMC. Довести МК ‖ СВ. Доведения ". По условию МК - биссектриса ∟AMC. По определению биссектрисы треугольника имеем: ∟AMK = ∟KMC = 1 / 2∟AMC. Пусть ∟AMK = ∟KMC = х, тогда ∟AMC = 2х. ∟AMC i ∟CMB - смежные. По теореме о смежных углы имеем: ∟CMB = 180 ° - 2х. По условию СМ = MB. Итак, ΔСМВ - равнобедренный. По свойству углов равнобедренного треугольника имеем: ∟MCB = ∟MBC = (180 ° - (180 ° - 2х)): 2 = = (180 ° - 180 ° + 2х) 2  = (2х): 2 = х. Итак, ∟AMK = ∟MBC - х. ∟AMK i ∟MBC - соответствующие. Поэтому по признаку параллельности прямых имеем МК ‖ ВС, АВ - сек.