В треугольнике длины двух сторон равны 4 и 5, а длина биссектрисы угла между ними равна 20/9. Найдите площадь этого треугольника.

Биссектриса делит противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам.Пусть длины двух отрезков противоположной стороны - 5x и 4xУгол, который делит биссектриса - β.Тогда по теореме косинусов для двух дочерних треугольников(5x)² = 5² + (20/9)² - 2*5*20/9*cos(β/2)(4x)² = 4² + (20/9)² - 2*4*20/9*cos(β/2)----Умножим первое уравнение на 4, второе на 54*(5x)² = 4*5² + 4*(20/9)² - 2*4*5*20/9*cos(β/2)5*(4x)² = 5*4² + 5*(20/9)² - 2*4*5*20/9*cos(β/2)---Вычтем из первого второе4*(5x)² - 5*(4x)² = 4*5² + 4*(20/9)² - 5*4² - 5*(20/9)²4*25x² - 5*16x² = 4*25 - 5*16 - 400/81100x² - 80x² = 100 - 80 - 400/8120x² = 20 - 400/81сократим на 20x² = 1 - 20/81 = (81 - 20)/81 = 61/81x = √61/9 (отрицательный корень отбросили)---Теперь вычислим угол(5x)² = 5² + (20/9)² - 2*5*20/9*cos(β/2)25*61/81 = 25 + 400/81 - 200/9*cos(β/2)Умножим всё на 8125*61 = 25*81 + 400 - 9*200*cos(β/2)1800*cos(β/2) = 400 + 25*(81 - 61)1800*cos(β/2) = 400 + 25*20 1800*cos(β/2) = 900cos(β/2) = 1/2β/2 = arccos(1/2) = 60°β = 120°ПлощадьS = 1/2*4*5*sin(β) = 10*sin(120°) = 5√3