о- точка пересечения диагоналей четырехугольника . о1,о2 ,о3 и о4 - центры описанных окружностей треугольников аво, вос, сод и аод соответственно.
Докажите, что четырехугольник о1о2о3о4 является параллелограммом.
Найдите площадь четырехугольника о1о2о3о4, если площадь четырехугольника авсд равна 6 и его диагонали образуют угол 30 градусов

Центром описанной окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам, в данном случае - к отрезкам диагоналей. Перпендикуляры, проведенные к одной диагонали, параллельны - O₁O₂||O₃O₄, O₁O₄||O₂O₃. Противоположные стороны параллельны, O₁O₂O₃O₄ является параллелограммом.

S(ABCD)= AC*BD*sin30 /2 <=> AC*BD = 6*4 =24

E, F, G, H - середины AO, BO, CO, DO

В четырехугольнике O₁FOE противоположные углы прямые, следовательно сумма другой пары противоположных углов так же равна 180.

∠FO₁E +∠FOE =180

∠FOG +∠FOE =180

∠FO₁E=∠FOG =30

O₂K - высота на O₁O₄. Катет, лежащий против угла 30, равен половине гипотенузы.

O₂K= O₁O₂/2

O₂K= GE =AC/2 => O₁O₂=AC

FH=BD/2

S(O₁O₂O₃O₄)= O₁O₂*FH = AC*BD/2 =24/2 =12