Дана правильная треугольная пирамида SABC, все ребра которой равны 6. Найти расстояние от точки C до прямой BM, где точка M делит ребро AS в отношении 2 к 1 от вершины А.

Находим длину отрезка ВМ.

ВМ = √(6² + 4² - 2*6*4*cos60°) = √(36 + 16 - 2*24*(1/2)) = √28 = 2√7.

Имеем равнобедренный треугольник ВМС.

Находим высоту МК в этом треугольнике.

МК = √(2√7)² - (6/2)²) = √(28 - 9) = √19.

Площадь ВМК равна:

S = (1/2)*6*√19 = 3√19.

Тогда искомое расстояние от точки C до прямой BM - это высота h треугольника ВМС из точки С на ВМ.

h = 2S/BM = 2*3√19/(2√7) = 3√(19/7) ≈ 4,942527.