Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • Нужна помощь
    Основанием четырёхугольной пирамиды является ромб с острым углом α и меньшей диагональю а. Все двугранные углы при основании пирамиды равны β. Найдите: 1) площадь полной поверхности пирамиды; 2) высоту пирамиды.

Ответы 1

  • Пусть SABCD — четырёхугольная пирамида, в основании которой ромб ABCD. Меньшая диагональ ромба BD = a и острый угол \angle BAD = \alpha. \ SO высота пирамиды, значит, SO \bot (ABCD), следовательно SO \bot OK, так как OK \in (ABCD), \ OK — проекция SK на плоскость (ABCD), \ OK \bot CD ⇒ по теореме о трёх перпендикуляров (ТТП) SK \bot CD, следовательно, \angle SKO = \beta — линейный угол двугранного угла при ребре CD; так как все двугранные углы при основании равны, то точка О — центр вписанной окружности, то есть OK = r.

    Найти: 1) \ S_{_{\Pi}} - ? \ 2) \ SO - ?

    Решение. Ромб ABCD состоит из четырёх равных прямоугольных треугольников: \triangle AOD = \triangle AOB = \triangle BOC = \triangle COD.

    Рассмотрим \triangle AOD (\angle AOD = 90^{\circ}):

    OD = \dfrac{BD}{2} = \dfrac{a}{2}

    \angle OAD = \dfrac{\angle BAD}{2} = \dfrac{\alpha}{2}

    \text{sin} \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{OD}{AD} \Rightarrow AD = \dfrac{OD}{\text{sin} \dfrac{\alpha}{2}} = \dfrac{a}{2 \text{sin} \dfrac{\alpha}{2}}

    \text{tg} \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{OD}{AO} \Rightarrow AO = \dfrac{OD}{\text{tg} \dfrac{\alpha}{2}} = \dfrac{a}{2 \text{tg} \dfrac{\alpha}{2}}

    Значит, диагональ AC = 2AO = \dfrac{2a}{2 \text{tg} \dfrac{\alpha}{2}} = \dfrac{a}{\text{tg} \dfrac{\alpha}{2}}

    Рассмотрим \triangle COD (\angle COD = 90^{\circ}):

    r = OK = \dfrac{CO \ \cdotp OD}{CD} = \dfrac{\dfrac{a}{2 \text{tg} \dfrac{\alpha}{2}} \ \cdotp \dfrac{a}{2}}{\dfrac{a}{2 \text{sin} \dfrac{\alpha}{2}}} = \dfrac{a^{2} \ \cdotp 2 \text{sin} \dfrac{\alpha}{2}}{4a \ \text{tg} \dfrac{\alpha}{2}} = \dfrac{a \ \text{cos} \dfrac{ \alpha}{2}}{2}

    Высота ромба BM = 2OK = \dfrac{2a \ \text{cos} \dfrac{\alpha}{2} }{2} = a \ \text{cos} \dfrac{\alpha}{2}

    Площадь основания пирамиды S_{_{\text{O}}} = BO \ \cdotp CD = a \ \text{cos} \dfrac{\alpha}{2} \ \cdotp \dfrac{a}{2 \text{sin} \dfrac{\alpha}{2}} = \dfrac{a^{2} \ \text{cos} \dfrac{\alpha}{2}}{2 \text{sin} \dfrac{\alpha}{2}}} = \dfrac{a^{2} \ \text{ctg} \dfrac{\alpha}{2}}{2}

    Рассмотрим \triangle SOK (\angle SOK = 90^{\circ}):

    \text{tg} \beta = \dfrac{SO}{OK} \Rightarrow SO = OK \text{tg} \beta = \dfrac{a \ \text{cos} \dfrac{ \alpha}{2} \text{tg} \beta}{2}

    \text{cos}\beta = \dfrac{OK}{SK} \Rightarrow SK = \dfrac{OK}{\text{cos}\beta} = \dfrac{a \ \text{cos} \dfrac{ \alpha}{2}}{2 \text{cos}\beta}

    Определим площадь треугольника SDC:

    S_{_{\triangle SDC}} = \dfrac{SK \ \cdotp CD}{2} = \dfrac{a \ \text{cos} \dfrac{ \alpha}{2} \ \cdotp a}{2 \ \cdotp 2 \text{cos}\beta \ \cdotp 2 \text{sin} \dfrac{\alpha}{2}}} = \dfrac{a^{2} \ \text{cos} \dfrac{ \alpha}{2}}{8\text{cos}\beta \ \text{sin} \dfrac{\alpha}{2}} = \dfrac{a^{2} \text{ctg} \dfrac{\alpha}{2}}{8\text{cos}\beta}

    Из-за того, что у ромба все стороны равны и все двугранные углы при основании равны, то все боковые грани пирамиды будут тоже равны. Следовательно, площадь боковой поверхности S_{_{\text{B}}} = 4S_{_{\triangle SDC}} = \dfrac{4a^{2} \text{ctg} \dfrac{\alpha}{2}}{8\text{cos}\beta} = \dfrac{a^{2} \text{ctg} \dfrac{\alpha}{2}}{2\text{cos}\beta}

    Теперь, зная площадь основания и боковой поверхности пирамиды можно найти площадь полной поверхности:

    S_{_{\Pi}} = S_{_{\text{O}}} + S_{_{\text{B}}} = \dfrac{a^{2} \ \text{ctg} \dfrac{\alpha}{2}}{2} + \dfrac{a^{2} \text{ctg} \dfrac{\alpha}{2}}{2\text{cos}\beta} = \dfrac{a^{2} \ \text{ctg} \dfrac{\alpha}{2} (\text{cos} \beta + 1)}{2\text{cos} \beta}

    Ответ: площадь полной поверхности пирамиды равна \dfrac{a^{2} \ \text{ctg} \dfrac{\alpha}{2} (\text{cos} \beta + 1)}{2\text{cos} \beta}; высота пирамиды равна \dfrac{a \ \text{cos} \dfrac{ \alpha}{2} \text{tg} \beta}{2}.

    answer img

    • Автор:

      amelia53
    • 5 лет назад
    • 0

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years