8 класс
задание на фото
подробное решение

1)   АВСД - трапеция, ∠ВАД=90° , АС - биссектриса  ⇒   ∠ВАС=∠САД=45° , АС⊥СД  ⇒  ∠АСД=90° , АС=7√3 . Найти длину средней линии трапеции m.

Рассм. ΔАСД. ∠АСД=90° , ∠САД=45°  ⇒  ∠СДА=90°-∠САД=90°-45°=45° ⇒  ΔАСД - равнобедренный (при основании есть два равных угла).

АС=СД=7√2 .

АД=√(АС²+СД²)=√(АС²+АС²)=√(2АС²)=АС√2=7√2·√2=7·2=14

Рассм. ΔАВС.  ∠ВАС=45°, ∠АВС=90°  ⇒  ∠ВСА=90°-∠ВАС=90°-45°=45°

ΔАВС - равнобедренный (есть два равных угла) ⇒  АВ=ВС .

АС=√(АВ²+ВС²)=√(2АВ²)=АВ√2  ⇒АВ=АС:√2=7√2:√2=7 , ВС=7 .

Средняя линия трапеции равна m=(AД+BC)^2==(14+7):2=10,5 .

2)  АВСД - трапеция , АС=10 см ,  ВД=24 см , ср.линия=m=13 см.

Найти S(АВСД).

Проведём СР║ВД , ВСРД - параллелограмм ,  СР=ВД=24 , РД=ВС .

Рассм. ΔАСР. АР=АД+ДР=АД+ВС ,

m=(АД+ВС)/2  ,  13=(АД+ВС)/2  ⇒   (АД+ВС)=2·13=26 .

АС²+СР²=10²+24²=676  , 10²+24²=26²  ⇒  ΔАСР - прямоугольный ,

∠АСР=90° .

S(АСР)=1/2·AC·CP=1/2·10·24=120

CH⊥AP :  S(ACP)=1/2·AP·CH=120  , но 1/2·АР·СН=1/2·(АД+ВС)·СН=S(АВСД)

S(АВСД)=120

Площадь трапеции АВСД равна площади треугольника АСР.