В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания а, плоский угол при вершине пирамиды ф.Найдите площадь поверхности вписанного шара.

Sбок = 3 * 1/2 * b² * sin β  

a = √ (2b² - 2b²*cosβ)  

Sосн = a²√3/4 = (2b² - 2b²*cosβ)√3/4

Sполн = Sбок + Sосн = 3/2 * b² * sin β + (2b² - 2b²*cosβ)√3/4 = 

= (b²/2) * (3sinβ + √3 - √3cosβ)

x = d * ctg(α/2) ⇒  2x = 2d * ctg(α/2)

Sграни = 1/2 (2x)² * sin α = 2x²sinα = 2 d² * ctg²(α/2) * sinα

Sбок = 4 * Sграни = 8 d² * ctg²(α/2) * sinα

∠ACB = α

BC = a/2

BH ⊥AC ⇒BH - BH = d

a/2 = d/sin α    (ΔBHC)   ⇒  a = 2d / sin α

ΔABC: AC = a/2 /cos α = (d / sin α) / cosα = d / (sin α cos α)

Sбок = 1/2 Pосн * AC = 1/2 * 4 * a * AC = 2a * AC = 2 * 2d / sin α * d / (sin α cos α) = 

= 4 d² / (sin²α * cosα)

Sосн = a² = 4d² / sin²α

Sп.п. = Sбок + Sосн = 4 d² / (sin²α * cosα) + 4d² / sin²α = 4d² / sin²α * (1 / cosα + 1)