могут ли стороны треугольника относиться как: 1 : 1: 2​

Пойдем от противного.

Пусть есть такой треугольник АВС. Тогда пусть большая сторона АВ будет 2х, а меньшие АС и ВС, исходя из отношения - по х каждая.

Для любого треугольника исполняется условие, что каждая сторона меньше суммы остальных двух.

Т. е.

АВ<ВС+АС

ВС<АВ+АС

АС<АВ+ВС

Проверяем:

2<1+1 ложь

1<2+1 истина

1<2+1 истина

Первое неравенство не соотвествует предположению, следовательно, такого треугольника не существует.