ABCD - ромб с острым углом А - 60°

В точке A проведен перпендикуляр к плоскости ромба AE длиной равной двум сторонам ромба.

Найдите угол между плоскостями EBC и ECD

Пусть С- начало координат.

Пусть ромб единичный.

Ось X - CA

Ось Y - перпендикулярно X в сторону B

Ось  Z - перпендикулярно плоскости ромба в сторону E

координаты точек

E(√3;0;2)

B(√3/2;0.5;0)

D(√3/2;-0.5;0)

Уравнение плоскости EBC (проходит через начало координат)

ax+by+cz=0

подставляем координаты точек

√3a+2c=0

√3a/2+b/2=0 или √3a+b=0

Пусть a=2√3 тогда b= -6 c= -3

уравнение 2√3x-6y-3z=0

Уравнение плоскости ECD (проходит через начало координат)

ax+by+cz=0

подставляем координаты точек

√3a+2c=0

√3a/2-b/2=0 или √3a-b=0

Пусть a=2√3 тогда b= 6 c= -3

уравнение 2√3x+6y-3z=0

Косинус искомого угла равен

| 2√3*2√3 -6*6 +3*3 | / ((2√3)^2+6^2+3^2) =  15 / 57 = 5/19

Вариант решения.  

   Угол между плоскостями EBC и ECD - двугранный. Его величина равна величине линейного угла между ними, т.е. равна  величине  угла, сторонами которого являются лучи с общим началом на ребре двугранного угла, проведенные  в его гранях перпендикулярно ребру.

  Т.к. острый угол ромба 60°, диагональ ВD делит ромб на два равносторонних треугольника. Примем стороны ромба равными 1.  Тогда АЕ=2, ВD=АВ=1, AC=2AO=2•sin60°=√3.

 Треугольники АЕВ и АЕD равны  по равным катетам.

По т.Пифагора ЕD=ЕВ=√(AE²+AD²)=√(4+1)=√5

EC=√(AE²+AC²)=√(4+3)=√7  

 Треугольники ЕСD и ЕСВ равны по трем сторонам. Поэтому основания их высот, проведенные из равных углов ( ∠СBЕ=∠СDЕ) к общей стороне ЕС, совпадут. Отрезки КВ и КD перпендикулярны ребру ЕС двугранного угла в одной точке К. Угол ВKD - искомый.

 1) По т.косинусов  ЕD²=EC²+CD² -2ED•CD•cosECD. ⇒

5=7+1- 2•1•√7•cosECD  ⇒   cosECD= (5-8): (-2√7)=3/2√7

Из прямоугольного ∆ СКD  длина DK=ВК=СD•sinECD. Из формулы sin²x+cos²x=1 находим sinECD=√(1-9/28)=(√19)/2√7.⇒ DK=BK=1•(√19)/2√7. Из ∆ ВКD  BD²=BK²+DK²- 2BK•DK•cosBKD ⇒ 1=19/28+19/28-2•19/28•cosBKD,  ⇒ 1=2•19/28•(1-cosBKD)   откуда cos∠BKD=1-14/19=5/19  ∠BKD=arccos 5/19