В трапеции ABCD основаниями являются AD и BC, AB⊥AD, AD=25, BC=4, угол между диагоналями AC и BD трапеции прямой. Найдите высоту трапеции.

Треугольник AOD прямоугольный => по теореме Пифагора AD2=AO2+OD2 => 625=AO2+OD2 (1). Из треугольника АОС по теореме Пифагора BC2=BO2+OC2 => 16=BO2+OC2 (2). Сложим почленно равенства 1 и 2: 641=AO2+OD2+BO2+OC2. Из треугольника АОВ по теореме Пифагора ВО2+AO2=AB2, из треугольника COD по теореме Пифагора OD2+OC2=CD2 => 641=AB2+CD2 (3). СН высота, проведенная из вершины С. СН=АВ. НD=25–4=21. Из треугольника CDH по теореме Пифагора CD2=CH2+HD2. СН=АВ => CD2=AB2+441 подставим вместо CD2 в равенство (3) AB2+441, получаем AB2+AB2+441=641 => 2AB2=200 => AB2=100 => AB=10

Проведем BE||AC, BEAC - параллелограмм, EA=BC=4

AC⊥BD => BE⊥BD

BA - высота из прямого угла в △DEB

Высота из прямого угла равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу.

BA=√(EA*AD) =√(4*25) =10