1. Даны равносторонние треугольники АВС и А1В1С1, О и О1 – соответственно точки пересечения медиан этих треугольников, ОА = О1А1. Докажите, что треугольники АВС и А1В1С1 равны.
2. В тупоугольном равнобедренном треугольнике один из углов в четыре раза больше другого. Медиана треугольника, проведенная к основанию, равна а. Найдите боковую сторону.
4. Точки В и D лежат по разные стороны от прямой АС. Известно, что АВ||DС, АD||ВС. Докажите, что ∠АВС = ∠АDС, АВ = DС, АD = ВС.
5. В треугольнике АВС внешние углы при вершинах А и В равны. Докажите, что 2АС > АВ.
6. В равнобедренном треугольнике АВС угол В – тупой. Высота ВD равна 8 см. Найдите периметр треугольника АВС, если периметр треугольника АВD равен 24 см.
7. Угол АОВ равен 43°. Внутри этого угла проведен луч ОС. Найдите угол между биссектрисами углов АОС и ВОС.
8. В окружности с центром О проведены три радиуса: ОА, ОВ, ОС, так, что ОВ перпендикулярен АС и отрезки ОВ и АС пересекаются. Докажите, что АВ = ВС.
9. Дан треугольник АВС. На продолжении сторон АВ и ВС за вершину В отмечены точки D и E соответственно; ∠DВЕ = 60°, 3∠А = ∠С. Найдите угол, смежный с углом А.
10. Расстояние между центрами двух касающихся окружностей равно 18 см. Найдите радиусы окружностей, если один из них в 4 раза меньше другого.
11. Боковая сторона равнобедренного треугольника в 2 раза больше основания и на 12 см меньше периметра треугольника. Найдите стороны треугольника.
13. В равнобедренном треугольнике АВС ВD – высота, проведенная к основанию. Точки М и Н принадлежат сторонам АВ и ВС соответственно. Луч DВ – биссектриса угла МDН. Докажите, что АМ = НС.
14. На сторонах АВ, ВС, АС треугольника АВС взяты точки — М, Р, К соответственно так, что лучи КМ и КР являются биссектрисами углов АКВ и ВКС. Докажите, что ∠МКР = 90о.
15. В треугольнике АВС ∠А = 50о, ∠С = 80о. Докажите, что биссектриса внешнего угла треугольника при вершине С лежит на прямой, параллельной прямой АВ.
16. Основание АС равнобедренного треугольника АВС продолжено за вершины А и С. На продолжениях соответственно отложены равные отрезки АD и СЕ. Докажите, что ВD = ЕВ.
17. В треугольнике АВС ∠B = 100o, ∠А = 40о. Точка D принадлежит стороне АС. Причем угол BDC – тупой. Докажите, что АВ > BD.
18. Отрезки АЕ, ЕК, КВ последовательно отложены на одной прямой, а точки С и D лежат по разные стороны от этой прямой, АЕ = ВК, АС = BD, СК = DЕ. Докажите что треугольники АСК и ВЕD равны.
19. Даны треугольники АВС и А1В1С1 с высотами СD и C1D1 соответственно, ∠B = ∠B1 = 45o, CD = C1D1, АВ = А1В1. Докажите, что треугольники АВС и А1В1С1 равны.
ДАЮ 75 БАЛЛОВ! ПРОШУ НАПИСАТЬ ОТВЕТ С РЕШЕНИЕМ