В остроугольном треугольнике ABC проведены медиана AM и высота BD. Известно, что АD=4 см, угол САМ = 40°, угол CBD = 10°. Найдите сторону BC.​

Для решения задачи воспользуемся теоремой синусов.

Обозначим стороны треугольника: AB = c, BC = a, CA = b.

Так как треугольник ABC остроугольный, то медиана AM является высотой, а также делит сторону BC пополам. Поэтому BM = MC = a/2.

Известны следующие углы:

Угол САМ = 40°,

Угол CBD = 10°.

Так как AM является медианой, то AM делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника: AMB и AMC.

В треугольнике AMB угол AMB = 90°, угол BMA = 40°. Значит, угол BAM = 180° - 90° - 40° = 50°.

Применим теорему синусов к треугольнику BAM:

sin(BAM) / c = sin(AMB) / AM.

sin(50°) / c = sin(90°) / (a/2).

sin(50°) = 1, 

sin(90°) = 1.

Тогда получаем: 

1 / c = 1 / (a/2).

c = a/2.

Теперь рассмотрим треугольник CBD.

Угол CBD = 10°.

Угол BCD = 180° - 90° - 10° = 80°.

Применим теорему синусов к треугольнику CBD:

sin(CBD) / (a/2) = sin(BCD) / 4.

sin(10°) = sin(80°) = sqrt(3)/2.

Тогда получаем:

sqrt(3)/2 / (a/2) = sqrt(3)/2 / 4.

1 / (a/2) = 1 / 4.

Таким образом, мы получили два уравнения:

c = a/2,

1 / (a/2) = 1 / 4.

Решая систему уравнений, получим:

c = a/2 = 4/2 = 2.

Таким образом, сторона BC равна 2 см.