В окружности проведины две хорды СDи EFперпендикулярно диаметру АВ . Докажите , что прямая MN , соединяющая середины хорд CEиDF, перпендикулярна АВ.​

Для доказательства перпендикулярности прямой MN к диаметру АВ, воспользуемся свойством, которое гласит: если хорда перпендикулярна диаметру окружности, то она проходит через центр окружности.

Пусть точки M и N - середины хорд CE и DF соответственно. Для начала, докажем, что точки M, N и центр окружности O лежат на одной прямой.

Рассмотрим треугольник CEO. Поскольку хорда CE перпендикулярна диаметру АВ, то треугольник CEO является прямоугольным. Также, так как точка M - середина хорды CE, то MO является медианой треугольника CEO. Это означает, что MO делит сторону CE пополам и проходит через точку O - центр окружности.

Аналогично, рассмотрим треугольник DFO. Поскольку хорда DF перпендикулярна диаметру АВ, то треугольник DFO является прямоугольным. Также, так как точка N - середина хорды DF, то NO является медианой треугольника DFO. Это означает, что NO делит сторону DF пополам и проходит через точку O - центр окружности.

Таким образом, точки M, N и O лежат на одной прямой.

Теперь, докажем, что прямая MN перпендикулярна диаметру АВ. 

Поскольку точки M и N являются серединами хорд CE и DF соответственно, то MN параллельна и равна половине суммы этих хорд. Но так как хорды CE и DF перпендикулярны диаметру АВ, то они равны между собой. Следовательно, MN также равна половине суммы этих хорд.

Так как MN проходит через центр окружности O, то MN также является радиусом окружности. Из свойств окружности следует, что радиус перпендикулярен диаметру.

Таким образом, доказано, что прямая MN, соединяющая середины хорд CE и DF, перпендикулярна диаметру АВ.