Найдите величину двугранного угла при основании правильной четырехугольной пирамиды, если ее боковые ребра наклонены к плоскости основания по углом 30'. (30' - 30 градусов).

Обязательно:

1) Полное решение, с объяснением.

2) Рисунок.

Дано: на картинкеРешение:Так как пирамида правильная и SO перпендикулярно ABCD, то SOA - прямоугольный треугольник. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы. Значит SO=SA/2. Обозначим SA=2a, тогда SO=a. По теореме Пифагора найдем ОА:OA= \sqrt{SA^2-SO^2}= \sqrt{(2a)^2-a^2}= a \sqrt{3} Так как в основании лежат квадрат, то он имеет равные взаимно перпендикулярные диагонали, которые точкой пересечений делятся пополам. Значит, треугольник АВО - прямоугольный и АО=ВО.По теореме Пифагора находит АВ из прямоугольного треугольника АВО:AB= \sqrt{AO^2+BO^2}= \sqrt{(a \sqrt{3} )^2+(a \sqrt{3} )^2}= a\sqrt{6} Так как точка Н - середина АВ, то НВ=НА=АВ/2Из прямоугольного треугольника OНВ находим OН по теореме Пифагора:OH= \sqrt{BO^2-HB^2} = \sqrt{AO^2-HB^2} = \\\ =\sqrt{(a \sqrt{3}) ^2-( \frac{a \sqrt{6} }{2})^2} =a\sqrt{( \sqrt{3}) ^2-( \frac{ \sqrt{6} }{2})^2} =a\sqrt{3- \frac{6 }{4}} =a\sqrt{ \frac{6 }{4}} = \frac{a \sqrt{6} }{2} Из прямоугольного треугольника SOH:tgSOH= \frac{SO}{OH} =a: \frac{a \sqrt{6} }{2} = \frac{2}{ \sqrt{6} } =\frac{2\cdot \sqrt{6}}{ \sqrt{6}\cdot \sqrt{6} } =\frac{2\sqrt{6}}{6 } =\frac{\sqrt{6}}{3 } \\\ \Rightarrow SOH=\mathrm{arctg} \frac{\sqrt{6}}{3 }Ответ: \mathrm{arctg} \frac{\sqrt{6}}{3 }