Задача 1. Найдите длину радиуса окружности, вписанной в правильный многоугольник, если длина его стороны равна 6 см,

1. Рассмотрим треугольник, образованный радиусами описанной окружности и стороной правильного многоугольника. Этот треугольник равнобедренный, высота которого, отпущенная на сторону правильного многоугольника, будет являться стороной вписанной окружности.Рассмотрим треугольник, образованный радиусами вписанной и описанной окружностей и половиной стороны правильного многоугольника (высота в равнобедренном треугольнике является одновременно и медианой). Данный треугольник прямоугольный. По теореме Пифагора:R² = r² + (a/2)²,Где R - радиус описанной окружности;r – радиус вписанной окружности;а – сторона многоугольника.Тогда r=√(R^2 )-(6/2)²r=√((3√3)^2 )-3^2r=√27-9r=√18r=3√2 (см.)Ответ: 3√2 см.2. Строну правильного четырехугольника, вписанного в окружность, можно выразить по формуле:а1=R√2Строну правильного шестиугольника, описанного вокруг окружности, можно выразить по формуле:а2=2R/√3Тогда отношение сторон четырёхугольника и шестиугольника равно:a1/a2 = R√2 ∶ (2R/√3) = (R√2*√3)/2R = √3/2Обратите внимание корень относится к 3/2Ответ: √3/2