В трапеции основания АД и ВС равны соответственно 36 и 12, а сумма углов при основании равна 90 градусов. Найти радиус

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/2q8bp81).

Продлим боковые стороны трапеции до их пересечения в точке К.

Так как, по условию, сумма острых углов трапеции при основании АД равна 90⁰, то угол АКД так же равен 90⁰.

Прямоугольные треугольники АКД и ВКС подобны по острому углу.

Пусть длина отрезка ВК = Х см, тогда АК = АК + ВК = 10 + Х см.

В подобных треугольниках: АД / ВС = АК / ВК.

36 / 12 = (10 + Х) / Х.

36 * Х = 120 + 12 * Х.

24 * Х = 120.

Х = ВК = 120 / 24 = 5 см.

Треугольник ОАВ равнобедренный, так как ОА и ОВ радиусы окружности, тогда ОМ его высота и медиана, а значит АМ = ВМ = АМ / 2 = 10 / 2 = 5 см.

Тогда МК = ВМ + ВК = 5 + 5 = 10 см.

Четырехугольник ОНКМ прямоугольник, тогда ОН = МК = R = 10 см.

Ответ: Радиус окружности равен 10 см.