На стороне AB треугольника ABC взята такая точка D так, что окружность, проходящая через точки A, C и D, касается прямой

http://bit.ly/2qe0lSBРассмотрим треугольники BDC и ВСА. В треугольнике BDC угол DВC и в треугольнике ВСА угол СВА равны, так как они общие (угол В). Также равны угол BCD и угол ВАС, так как угол BCD - это угол между касательной к окружности и хордой, проведенной через точку касания, тогда он равен половине градусной меры дуги DС, а угол ВАС - это вписанный угол, опирающийся на ту же дугу DС (градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается), следовательно:угол BCD = угол ВАС.Исходя из равенства двух углов треугольников BDC и ВСА, эти треугольники подобны по первому признаку подобия (если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны).Так как BDC и ВСА - подобные треугольники, то справедливы отношения:АВ/ВС = АС/DC;АВ/34 = 40/20;АВ = 34*40 / 20 (по пропорции);АВ = 68 см.По теореме о секущей и касательной (если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной):BC^2 = AB*ВD;34^2 = 68ВD;68ВD = 1156;ВD = 1156/68;ВD = 17 см.Отрезок АВ состоит из двух отрезков:АВ = ВD + AD;17 + AD = 68;AD = 68 - 17;AD = 51 см.Ответ: AD = 51 см.