Основания трапеции 2см и 7см, а её диагонали равны 10 и 17см. Найти площадь.

Пусть ABCD — трапеция: AD = 7 см и BC = 2 см — основания, AC = 10 см и BD = 17 см — диагонали.1. Из вершины B проведем высоту BH.В △BHD по теореме Пифагора выразим BH:BH = √ (BD² - DH²).Так как AD точкой H делится на два отрезка AH и DH, то:DH = AD – AH.Таким образом:BH = √ (BD² - (AD - AH)²) = √ (17² - (7 - AH)²) = √ (289 - (7 - AH)²) = √ (289 - (49 - 14AH + AH²)) = √ (289 - 49 + 14AH - AH²) = √ (240 + 14AH - AH²).2. Из вершины C проведем высоту CK.В △CKA по теореме Пифагора выразим CK:CK = √ (AC² - AK²).Так как AD точкой K делится на два отрезка AK и DK, то:AK = AD – DK.Таким образом:CK = √ (AC² - (AD – DK)²) = √ (10² - (7 – DK)²) = √ (100 - (49 – 14DK + DK²)) = √ (100 - 49 + 14DK - DK²)) = √ (51 + 14DK - DK²).3. AD точками H и K делится на три отрезка AH, HK, DK:AD = AH + HK + DK.Так как BH и CK перпендикулярны параллельным прямым, то они параллельны между собой. Четырехугольник HBCK является прямоугольником со сторонами BH = CK и BC = HK.Так как BC = HK, то HK = 2 см.Значит:AH + 2 + DK = 7;AH + DK = 7 – 2;AH + DK = 5.Так как BH = CK, то:√ (240 + 14AH - AH²) = √ (51 + 14DK - DK²).4. Мы получили систему уравнений с двумя неизвестными:√ (240 + 14AH - AH²) = √ (51 + 14DK - DK²);AH + DK = 5.Во втором уравнении системы выразим AH через DK:AH = 5 – DK.Полученное выражение подставим в первое уравнение системы и решим уравнение с одной неизвестной:√ (240 + 14(5 – DK) - (5 – DK)²) = √ (51 + 14DK - DK²) (возведем обе части уравнения в квадрат);(√ (240 + 70 - 14DK - 25 + 10DK - DK²)² = (√ (51 + 14DK - DK²))²;- DK² - 4 DK + 285 = - DK² + 14DK + 51 (перенесем все слагаемые с неизвестной в левую сторону уравнения, а все натуральные слагаемые — в правую);- DK² + DK² - 4 DK - 14DK + 285 – 51 = 51 - 285 (приведем подобные слагаемые);- 18DK = - 234;DK = (-234)/(-18);DK = 13.5. Найдем длину CK:CK = √ (51 + 14*13 - 13²) = √ (51 + 182 - 169) = √ 64 = 8 (см).6. Площадь трапеции находится по формуле:S = (a + b)*h/2,где a и b — основания трапеции, h — высота трапеции.S = (7 + 2)*8/2 = 9*8 / 2 = 9*4 = 36 (см²).Ответ: S = 36 см².