Если точки А(1;3;2), С(-1;0;2) и Д(5;-4;1) являются вершинами параллелограмма АВСД, то длина диагонали ВД равна

Противолежащие стороны параллелограмма ABCD равны: AB = CD, AD = BC, AC и BD — диагонали.1. Найдем длину стороны AD. Расстояние между точками A(1; 3; 2) и D(5; -4; 1) вычисляется по формуле:AD = √((x₁ - x₂)² + (y₁ - y₂)² + (z₁ - z₂)²);AD = √((1 - 5)² + (3 – (-4))² + (2 – 1)²) = √((- 4)² + 7² + 1²) = √(16 + 49 + 1) = √66.Тогда AD = BC = √66.2. Найдем длину стороны CD. Расстояние между точками С(-1; 0; 2) и D(5; -4; 1) вычисляется по формуле:CD = √((x₁ - x₂)² + (y₁ - y₂)² + (z₁ - z₂)²);CD = √((- 1 - 5)² + (0 – (-4))² + (2 - 1)²) = √((- 6)² + 4² + 1²) = √(36 + 16 + 1) = √53.Тогда AB = CD = √53.3. Найдем длину диагонали АС. Расстояние между точками A(1; 3; 2) и C(-1; 0; 2) вычисляется по формуле:AC = √((x₁ - x₂)² + (y₁ - y₂)² + (z₁ - z₂)²);AC = √((1 – (-1))² + (3 - 0)² + (2 - 2)²) = √(2² + 3² + 0²) = √(4 + 9) = √13.4. Из тождества параллелограмма следует, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон:d₁² + d₂² = 2(a² + b²).В нашем случае d₁ = BD, d₂ = AC, a = AD, b = CD.Тогда:AC² + BD² = 2(AD²+ CD²);(√13)² + BD² = 2((√66)²+ (√53)²);13 + BD² = 2(66 + 53);13 + BD² = 2*119;BD² = 238 – 13;BD² = 225;BD = √225;BD = 15.Ответ: BD = 15.