В правильном треугольнике АВС медианы АА1 , ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О. Точки K, M и N – середины отрезков АО,

Так как в правильном треугольнике медианы являются высотой, биссектрисой и медианой и делятся точкой пересечения в отношении 2 к 1, то АО/А1О = ВО/В1О = СО/С1О = 2/1.Следовательно, ОС1 = ОА1 = ОВ1 = OK = OM = ON = x, а полученный шестиугольник — равносторонний.Поэтому периметр его равен: Р = 6 * b, где b — сторона шестиугольника.Из прямоугольного треугольника А1ВО, А1В = а/2, угол А1ВО = 30º, так как АА1 = ВВ1 — биссектрисы, медианы и высоты.Значит, угол МОА1 = 60º.А так как ОМ = ОА1, то треугольник МОА1 — равносторонний, тогда b = x.По теореме синусов ОА1 = х = А1В * tg(OBA1) = a/2 * tg30º = a/2 * √3/3 = a√3/6.Периметр A1MC1KB1N равен:Р = 6 * х = 6 * a√3/6 = a√3.