Докажите, что биссектрисы двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, взаимно перпендикулярны.

Решение. Пусть дан параллелограмм ABCD. По свойству параллелограмма углы, прилежащие к одной стороне параллелограмма, в сумме дают 180°. Если ∠АВС = α, ∠BCD = β, то α + β = 180°. Проведём биссектрисы углов ВК и СР, пусть они пересекаются в точке М. Рассмотрим Δ ВСМ, в котором ∠МВС = α/2; ∠BCМ = β/2, тогда ∠ВМС = 180° - (∠МВС + ∠BCМ), так как сумма углов в треугольнике составляет 180°. ∠ВМС = 180° - (α/2 + β/2) = 180° - (α + β)/2 = 180° - (180°)/2 = 90°. Значит, ВК ⊥ СР. Поскольку углы выбраны произвольно, то можно сделать вывод, что биссектрисы двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, взаимно перпендикулярны. Что и требовалось доказать.