Дан остроугольный треугольник ABC. Пусть AD, CE, BM – его высоты, CD=DE=7, DM=8. Найдите CB.

Возьмем остроугольный треугольник АВС с высотами АD, BM и CE. Соединим точку D с основаниями других высот M и E. По условию задачи:

|CD| = |DE| = 7;

|DM| = 8;

Необходимо вычислить длину стороны ВС. Зная, что |CD|=7, задача, по сути, сводится к вычислению длины отрезка BD.

Два треугольника считаются подобными, если

• отношение длин их двух соответствующих стороны одинаково и углы между ними равны;
• внутренние углы одного треугольника равны углам второго треугольника;
• отношение длин всех трех сторон одного треугольника к длинам сторон второго треугольника одинаково.

В нашем случае, рассмотрим два треугольника BED и CDM. По условиям задачи:

|ЕВ| = |ВС| cos(B), |ВD| = |AВ| cos(B);

и, следовательно, |ЕВ| / |ВD| = |ВС| / |AВ|. Это означает, что треугольники BED и ABC подобны.

Далее, для треугольника CDM имеем:

|CD| = |AС| cos(C), |MC| = |BC| cos(C);

и, следовательно, |CD| / |MC| = |AС| / |ВC|. Это означает, что треугольники CDM и ABC подобны.

Поскольку оба треугольника BED и CDM подобны треугольнику ABC, то эти треугольники подобны друг другу. Из этого подобия следует, что:

|DЕ| / |ВD| = |CD| / |DM|

Подставив исходные данные, получаем:

7 / |ВD| = 7 / 8 или |ВD| = 8.

В результате получаем:

|BC| = |CD| + |BD| = 7 + 8 = 15

Ответ: длина стороны ВС равна 15.