Окружность с центрами в точках p и q пересекаются в точках k и l, причем точки p и q лежат по одну сторону от прямой

   Доказательство.

   Рассмотрим треугольники PKQ и PLQ (см. рис. http://bit.ly/2BdqtlD).

   У них стороны PK и PL равны как радиусы R окружности с центром в точке P, стороны KQ и LQ равны как радиусы r окружности с центром в точке Q, а сторона PQ - общая. Следовательно, они равны по третьему признаку равенства треугольников: если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

   Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:

• ∠KPQ = ∠LPQ;
• ∠KQP = ∠LQP;
• ∠PKQ = ∠PLQ.

   Рассмотрим треугольник KPL.

   Т.к. ∠KPM = ∠LPM, то PM является биссектрисой треугольника KPL. Но поскольку стороны KP и LP равны, то треугольник равнобедренный, и следовательно, биссектриса PM, проведенная к основанию KL, является также его высотой.

   Таким образом, можем утверждать, что прямая PQ, проведенная через центры двух окружностей, и хорда KL, соединяющая их точки пересечения, взаимно перпендикулярны. Что и потребовалось доказать.

Соединив точку p с точками l и k а точку q тоже с точками l и k, получим равнобедренные треугольники pkl и qkl. 

Проведём в каждом из этих треугольников высоты ph и qh1 на основание kl.Так как вышеназванные треугольники равнобедренные, потому что их боковые стороны образованы равными радиусами pk = pl и qk = ql, то соответствующие высоту ph и qh1 являются также медианами.А медиана равнобедренного треугольника, проведённая к его основанию, делит это основание пополам.

Значит, kh = lh = kl / 2, а kh1 = lh1 = kl / 2. И kh = kh1, lh = lh1 и точки h и h1 одна и та же точка.Вывод : pq совпадает с ph и qh и прямая pq перпендикулярна прямой kl.