Найдите углы ромба, если его диагональ равна 2 под корнем 3 и 2

Дан ромб ABCD: AC = 2√3 и BD = 2 — диагонали. Диагонали точкой пересечения делятся пополам и перпендикулярны друг другу, тогда:OA = OC = AC/2 = 2√3/2 = √3;OB = OD = BD/2 = 2/2 = 1;∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOA = 90°.Таким образом, диагонали делят ромб ABCD на 4 равных прямоугольных треугольника. 1. Рассмотрим △AOB: ∠AOB = 90°, OA = √3 и OB = 1 — катеты.Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника является отношение длины катета, противолежащего данному углу, к длина катета, прилежащего к данному углу.Найдем тангенс ∠OAB:tg∠OAB = OB/OA = 1/√3 = 1/√3 * √3/√3 = (1 * √3)/(√3)² = √3/3.∠OAB = 30°. 2. По теореме о сумме углов треугольника:∠AOB + ∠OAB + ∠ABO = 180°;90° + 30° + ∠ABO = 180°;∠ABO = 180° - 120°;∠ABO = 60°. 3. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, тогда:∠A = 2 * ∠OAB = 2 * 30° = 60°;∠B = 2 * ∠ABO = 2 * 60° = 120°.Так как противолежащие углы ромба равны, то:∠A = ∠C = 60°;∠B = ∠D = 120°.Ответ: ∠A = 60°, ∠B = 120°, ∠C = 60°, ∠D = 120°.

Нам нужно найти градусную меру углов ромба, если длина его диагоналей равна 2√3 и 2.

Решать задачу будем по алгоритму

• вспомним определение ромба и свойства его диагоналей;
• рассмотрим один из треугольников образованный половиной диагоналей и стороной ромба;
• определим вид треугольника и вспомним что такое тангенс угла в прямоугольном треугольнике;
• найдем угол ромба;
• вспомним теорему о углах прилежащих к одной стороне и найдем оставшиеся углы ромба.

Определение и свойства ромба

Согласно определения, ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом, точкой пересечения делятся пополам и являются биссектрисами его углов.

Нарисуем рисунок к задаче  http://bit.ly/2zuWgRK.

Исходя из этих свойств запишем равенства:

AO = AC/2 = 2/2 = 1;

BO = BD/2 = 2√3/2 = √3.

Рассмотрим треугольник ABO и найдем угол BAO

Треугольник ABO прямоугольный, так как угол образованный пересечение диагоналей равен 90 градусам (BOA = 90 градусов);

Нам известны катеты прямоугольного треугольника.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Запишем равенство:

tg ∠ BAO = BO/AO = √3 : 1 = √3.

значит ∠ BAO = arctg √3 = 60 градусов.

Находим углы ромба

Так как диагональ в ромбе является биссектрисой его углов:

∠ A = 2 * ∠ BAO = 2 * 60 = 120 градусов.

∠ A = ∠ C = 120 градусов (так как противоположные углы ромба равны.

Известно, что сумма углов прилежащих к одной стороне ромба равна 180 градусов:

∠ A + ∠ B = 180 градусов;

∠ В = 180 - ∠ А = 180 - 120 = 60 градусов;

∠ В = ∠ D = 60 градусов.

Ответ: 60 градусов; 60 градусов; 120 градусов и 120 градусов.