Высота равностороннего треугольника равна 13√3. Найдите его сторону.

Дано:равнобедренный треугольник АВС,ВН — высота,ВН = 13√3.Найти длину стороны равностороннего треугольника АВС, то есть АВ — ?Решение:1. Рассмотрим равносторонний треугольник АВС. Высота ВН является и медианой. Тогда НС = АН = АВ/2;2. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВН.Тогда по теореме Пифагора (квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов):АН^2 + ВН^2 = АВ^2;Пусть АВ = х, тогда ВН = х/2;169 * 3 + х^2/4 = х^2;3 * х ^2 = 169 * 3 * 4;х ^2 = 169 * 4;х = 13 * 2;х = 26.Ответ: 26.

Для решения данной задачи необходимо узнать

• какой треугольник называется равносторонним;
• каким свойством обладает высота равностороннего треугольника;
• что такое теорема Пифагора.

Какой треугольник называется равносторонним

Равносторонним называется правильный треугольник, его все стороны и углы равны между собой.

Определение и свойство высоты равностороннего треугольника

Высота равностороннего треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону

Свойство высоты: «В равностороннем треугольнике высота, проведённая к любой стороне, является также его  биссектрисой и медианой».

Свойства биссектрисы и медианы треугольника

• медиана треугольника делит сторону, к которой проведена пополам;
• биссектриса треугольника делит угол, из которого проведена на два равных по величине угла.

Значит, высота, делит наш равносторонний треугольник на два прямоугольных. Рассмотрим один из них, например, треугольник АСH. Угол АHC — прямой (равен 90°).

Ссылка на рисунок: http://bit.ly/2hQ8BZg.

Гипотенуза нашего прямоугольного треугольника — сторона АС, обозначим ее буквой  а, один из катетов, СH, равен 13√3, а чтобы найти второй катет, HA, нужно сторону треугольника АВС разделить на 2 (свойство медианы треугольника).

Запишем теорему Пифагора

«Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».

Воспользовавшись теоремой Пифагора, запишем выражение для данного прямоугольного треугольника и найдем из него сторону а.

a² + b² = c²,

где а и b — катеты прямоугольного треугольника, с — гипотенуза.

(13√3)² + (а/2)² = а²;

13² × 3 + а²/4 = а²;

13² × 3 = а² - а²/4;

13² × 3 = (4а² - а²)/4;

13² × 3 = 3а²/4;

(4 × (13² × 3))/3 = а²;

а = √(4 × 13²);

а = √(2² × 13²) = 26.

Выполним проверку:

26² = (13√3)² + (26/2)² = 169 × 3 + 169 = 676.

676 = 676.

Решили верно.

Ответ: сторона равностороннего треугольника равна 26.