1.Точки А и С лежат по разные стороны от прямой BD. Докажите, что если AB параллельна CD, AB=CD, то треугольник ABD равен

Дано:прямая BD,точки А и С лежат по разные стороны от прямой от прямой BD,AB параллельна CD,AB = CD.Доказать, что треугольник ABD равен треугольнику CBD.Доказательство:Рассмотрим треугольник ABD и треугольник CBD. У них сторона ВD — общая.Угол АВD = углу DВС, так как это накрест лежащие углы для параллельных прямых АВ и СD и секущей ВD. Стороны АВ = CD по условию задачи. Следовательно по двум сторонам и углу между ними треугольник ABD равен треугольнику CBD. Что и требовалось доказать.

   Дано:   AB || CD;   AB = CD.

  Первый признак равенства треугольников и накрест лежащие углы

   При решении задачи воспользуемся первым признаком равенства треугольников: если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

   Также вспомним свойство углов при параллельных прямых: при пересечении параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны, а сумма односторонних углов равна 180°. Верно также обратное утверждение: из равенства накрест лежащих и соответственных углов, и из равенства 180° суммы односторонних углов, следует, что соответствующие прямые параллельны.

  Равенство треугольников ABD и CDB

   Треугольники ABD и CDB равны по первому признаку равенства треугольников (см. рис. http://bit.ly/2A1dGT0). Действительно, ∠ABD = ∠CDB как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей BD, стороны AB и CD равны по условию задачи, а сторона BD - общая.

   Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон и углов:

• AD = BC;
• ∠A = ∠C;
• ∠ADB = ∠CBD. 

  Четырехугольник ABCD

   Поскольку при пересечении прямых AD и CB секущей BD накрест лежащие углы ADB и CBD равны, то прямые AD и CB параллельны. Таким образом, четырехугольник ABCD является параллелограммом по определению, т.к. противоположные стороны параллельны.