Клетчатый тетрадный лист состоит из 30 × 40 клеток. Сколько есть способов вырезать из него по клеточкам прямоугольник?

Для решения этой задачи рассмотрим, какими способами мы сможем разрезать клетчатый тетрадный лист.

Тетрадный лист имеет 30 клеток по горизонтали и 40 по вертикали, тогда примем:

• n = 30 - число клеток по горизонтали;
• m = 40 - число клеток по вертикали;
• n × m  = 30 × 40 - клеток, содержит тетрадный лист.

Чтобы выделить прямоугольник нужно провести 4 прямые: 2 вертикальные и 2 горизонтальные. Количество способов провести пару вертикальных прямых равно: N = n(n + 1) / 2; Действительно, первую прямую можно провести n + 1 способом, вторую n способами, но при этом каждую пару прямых мы посчитаем дважды: мы можем сначала провести первую прямую, потом вторую, а можем сначала вторую, потом первую. Аналогично, количество способов провести пару горизонтальных прямых равно:M = m(m + 1) / 2.Следовательно, число способов вырезать прямоугольник равно: N × M;

Количество способов вырезать прямоугольник будет:N × M = n (n + 1) / 2 × m (m + 1) / 2 == nm(n + 1)(m + 1)/4 = 30 · 40 · 31 · 41 / 4 = 381300;

Ответ: Количество способов вырезать по клеточкам прямоугольник равно 381300.