Диаметр основания конуса равен 14 а длина образующей 25 найдите площадь осевого сечени этого конуса

Рассмотри прямоугольный треугольник, образованный образующей конуса, его высотой и радиусом основания. Квадрат высоты конуса можно найти по теореме Пифагора как разницу квадратов образующей и радиуса основания:h2 = l2 - (d / 2)2;h = √ (l2 - (d / 2)2) = √ (252 - (14 / 2)2 = √ (625 - 49) = √ 576 = 24.Площадь осевого сечения равна половине произведения высоты конуса на диаметр основания:S = 0,5 * h * d = 0,5 * 24 * 14 = 168.

Построение чертежа начинаем с изображения конуса. Это тело, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Поэтому в основании будет круг, а гипотенуза треугольника является образующей конуса.

 

Далее изобразим ось конуса и диаметр основания, находящиеся в одной плоскости (осевом сечении конуса).

http://bit.ly/2jgYmK5

 

Пусть у нашего конуса будут обозначения:

1. вершина А;
2. центр основания О;
3. АВ и АС – образующие (АВ=АС=25), находящиеся в одном осевом сечении, тогда по условию задачи ВС – диаметр основания конуса (ВС = 14).

 

Треугольник АВС – осевое сечение конуса. Нужно найти площадь треугольника АВС. Найдем площадь осевого сечения, используя несколько формул площади треугольника.

 

Площадь осевого сечения конуса по трем сторонам треугольника

Осевое сечение конуса треугольник АВС, у которого известны все 3 стороны: АВ=АС=25, ВС=14. Значит можно рассчитать площадь АВС по формуле Герона:

S(ABC) = КОРЕНЬ(p*(p-AB)*(p-AC)*(p-BC)), где p=(AB+AC+BC)/2.

 

Подставляем числовые данные в формулы:

p=(25+25+14)/2 = 64/2 = 32;

S(ABC) = КОРЕНЬ(32*(32-25)*(32-25)*(32-14)) = КОРЕНЬ(32*7*7*18) = КОРЕНЬ (28224) = 168

 

Площадь осевого сечения конуса по стороне и высоте треугольника

S(ABC) = 1/2*h*a, где h- высота треугольника с основанием на стороне а.

 

В треугольнике АВС известно основание ВС=14. Высоту АО можно найти по теореме Пифагора, рассмотрев треугольник АОВ: АО^2+ОВ^2 = АВ^2.

ОВ = 1/2*ВС = 14/2 = 7, АВ = 25, значит

АО^2+7^2 = 25^2;

АО^2= 625-49 = 576;

АО = 24.

Теперь можно найти площадь АВС:  S(ABC) = 1/2*АО*ВС = 1/2*24*14 = 168.

 

Площадь осевого сечения конуса по двум сторонам и углу между ними

S(ABC) = S(AOB) + S(AOC) = 2*S(AOB), так как треугольники АОВ и АОС одинаковы и имеют одинаковую площадь.

S(AOB) находим по двум сторонам (АО=24, ОВ=7) и углу между ними (угол АОВ = 90 градусов):

S(AOB) = 1/2*АО*ОВ*sin(AOB) = 1/2*24*7*sin(90) = 84*1=84.

Таким образом, S(ABC) = 2*84 = 168.

 

Как видно, все три способа дали одинаковый результат: площадь осевого сечения конуса равна 168.