У какого многоугольника 9 диагоналей

  Для многоугольников диагональ — это отрезок, соединяющий две несмежные вершины. Для решения этой задачи нам надо определить количество вершин многоугольника, зная количество его диагоналей.

Зависимости между вершинами и диагоналями многоугольника

  Количество диагоналей многоугольника будет равно количеству вершин минус три, так как из общего количества вершин, к которым можно проводить диагонали надо вычесть две соседние и саму эту вершину.Примем следующие обозначения:

• n - количество вершин многоугольника;
• N = 9 - количество диагоналей многоугольника;
• (n - 3)- количество диагоналей многоугольника, которое можно провести из каждой вершины.

  Тогда количество диагоналей многоугольника будет равно:N = n (n - 3) / 2; На два делим потому, что каждую диагональ мы посчитали дважды.

Расчет количества вершин многоугольника

N = n (n - 3) / 2;

9 = (n^2 - 3n) / 2;n^2 - 3n - 18 = 0;D = 81;n1 = (3 - 9) / 2 = -3 не удовлетворяет условиям;n2 = (3 + 9) / 2 = 6;Значит, число вершин у нас равно n = 6;

Ответ: У шестиугольника 9 диагоналей .

Количество возможных проведенных диагоналей в многоугольнике находится по формуле:d = (n² – 3 * n)/2,где d — число возможных разных диагоналей, n — количество вершин многоугольника.Из условия известно, что в многоугольнике 9 диагоналей. Подставим данное значение в формулу и найдем количество вершин многоугольника:(n² – 3 * n)/2 = 9;n² – 3 * n = 2 * 9 (по пропорции);n² – 3 * n = 18;n² – 3 * n – 18 = 0.Решим полученное квадратное уравнение с одной переменной.Дискриминант:D = b² - 4 * a * c = (- 3)² - 4 * 1 * (- 18) = 9 + 72 = 81.Найдем корни уравнения:n₁ = (- b + √D)/(2 * a) = (- (- 3) + √81)/(2 * 1) = (3 + 9)/2 = 12/2 = 6.n₂ = (- b - √D)/(2 * a) = (- (- 3) - √81)/(2 * 1) = (3 - 9)/2 = - 6/2 = - 3 — данный корень не имеет смысла, так как количество вершин многоугольника не может быть отрицательным.Ответ: n = 6.