Основание равнобедренного треугольника равно b, а угол при основании - B(бета). Найдите биссектрису треугольника, проведенную

Воспользуемся свойством равнобедренного треугольника: биссектриса проведенная из иго вершины является высотой и медианой. Найдем высоту h. Поскольку угол между h и b - прямой, то по определению тангенса угла, получим:

h = 1/2 * b * tg(ß).

Ответ: 1/2 * b * tg(ß).

   Рассмотрим треугольник ACD (см. рис. http://bit.ly/2AcBYK5).

   В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Поскольку треугольник ACD равнобедренный, и основанием является сторона AC, то:

       ∠C = ∠A = β; 

   В треугольнике ACD  биссектриса AD, исходящая из вершины A, делит угол A пополам:

      ∠CAD = ∠BAD = 1/2 * ∠A = 1/2 * β;

   Сумма углов треугольника равна 180°:

      ∠ADC + ∠C + ∠CAD = 180°;

      ∠ADC = 180° - (∠C + ∠CAD) = 180° - (β + 1/2 * β) = 180° - 3/2 * β. 

   Для того, чтобы в треугольнике ACD найти неизвестную сторону AD, применим к нему теорему синусов, которая гласит, что отношения сторон треугольника к синусу противолежащих углов равны:

• AD : sin(∠C) = AC : sin(∠ADC);
• AD = AC * sin(∠C) / sin(∠ADC);
• AD = b * sinβ / sin(180° - 3/2 * β);
• AD = b * sinβ / sin(3/2 * β).

   Выразим длину отрезка AD через косинус угла β/2. Для удобства преобразований обозначим β = 2 * β\'.

      AD = b * sin(2β\') / sin(3β\');

      AD = b * sin(2β\') / sin(β\' + 2β\');

      AD = b * 2 * sinβ\' * cosβ\' / (sinβ\' * cos(2β\') + cosβ\' * sin(2β\'));

      AD = 2b / (cos(2β\') / cosβ\' + sin(2β\') / sinβ\');

      AD = 2b / ((cos²β\' - sin²β\') / cosβ\' + 2 * sinβ\' * cosβ\' / sinβ\');

      AD = 2b / (cosβ\' - sin²β\' / cosβ\' + 2 * cosβ\');

      AD = 2b / (3 * cosβ\' - sinβ\' * tgβ\');

      AD = 2b * cosβ\' / (3 * cos²β\' - sin²β\');

      AD = 2b * cosβ\' / (4 * cos²β\' - 1);

      AD = 2b * cos(β/2) / (4 * cos²(β/2) - 1).

   Ответ: 2b * cos(β/2) / (4 * cos²(β/2) - 1).