На координатной плоскости построить треугольник вершины которого А (-3; -2) В (-3; 4) С (2; 4) Вычислить площадь этого

Рассмотрим ΔАВС, построенный на координатной плоскости с вершинами в точках А (– 3; – 2), В (– 3; 4) и С (2; 4). Точки А и В имеют одинаковые абсциссы, значит отрезок АВ лежит на прямой, перпендикулярной оси Ох. Точки В и С имеют одинаковые ординаты, значит отрезок ВС лежит на прямой, перпендикулярной оси Оу, тогда АВ ⊥ ВС и ΔАВС – прямоугольный. Получаем:|АВ| = √((– 3 – (– 3))² + (4 – (– 2))²) = 6;|ВС| = √((2 – (– 3))² + (4 – 4)²) = 5.Площадь такого треугольника равна полупроизведению длин его катетов:S = (АВ ∙ ВС) : 2 илиS = (6 ∙ 5) : 2;S = 15 (кв. ед.).Ответ: площадь составляет 15 квадратных единиц.

Нам нужно найти площадь треугольника ABC, вершины которого заданы координатами A (-3; - 2), B (- 3; 4) и C (2; 4).

Алгоритм решения задачи

• вспомним формулу нахождения расстояния между двумя точками на плоскости;
• вычислим длины сторон треугольников;
• вспомним формулу Герона для нахождения площади треугольника по трем сторонам;
• найдем полу периметр треугольника ABC;
• вычислим площадь треугольника.

Формула нахождения расстояния между двумя точками на плоскости

Чтобы найти длины сторон треугольника ABC, при наличии координат вершин треугольников, вспомним формулу для нахождения расстояния между двумя точками на плоскости.

Формула вычисления расстояния между двумя точками A(x_a, y_a) и B(x_b, y_b) на плоскости:

AB = √((x_b - x_a)² + (y_b - y_a)²).

Найдем длины сторон треугольника.

AB = √((- 3 - (- 3))^2 + (4 - (- 2))^2 = √((- 3 + 3)^2 + (4 + 2)^2 = √(0 + 6^2) = 6.

BC = √((2 - (- 3))^2 + (4 - 4)^2) = √((2 + 3)^2 + 0^2) = √(5^2 + 0^2) = 5.

АС = √((2 - (- 3))^2 + (4 - (- 2))^2) = √((2 + 3)^2 + (4 + 2)^2) = √(5^2 + 6^2) = √(25 + 36) = √61.

Формула Герона для нахождения площади треугольника

Для нахождения площади треугольника будем использовать формулу Герона.

Вспомним ее.

Площадь треугольника, длины сторон которого равны a, b и c, находится по формуле

S = √p(p - a)(p - b)(p - c)

где p = (a + b + c)/2 — полу периметр треугольника.

Находим полу периметр треугольника ABC:

p = (6 + 5 + √61)/2 = (11 + √61)/2;

S = √(11 + √61)/2 * ((11 + √61)/2 - 6)((11 + √61)/2) - 5) * ((11 + √61)/2 - √61) = √(11 + √61)/2 * (√61 - 1)/2 * (1 + √61)/2 * (11 - √61)/2 = √(121 - 61)/4 * (61 - 1)/4 = √60/4 * 60/4 = 60/4 = 15 кв. ед.

Ответ: S = 15 кв. ед.