Через точку О, лежащую между параллельными плоскостями α и β, проведены прямые l и m. Прямая l пересекает плоскости α

Возьмем две параллельные плоскости (α) и (β) и точку O, расположенную между ними. Проведем через точку O две прямые (l) и (m). Пересечение прямой (l) с плоскостью (α) обозначим через A1, а с плоскостью (β) – через A2. Пересечение прямой (m) с плоскостью (α) обозначим через B1, а с плоскостью (β) – через B2.

По условию задачи:

|A1В1| = 12 (см);

|В1О| / | ОВ2| = 3 / 4;

В задаче требуется найти длину отрезка A2В2.

Через две пересекающиеся прямые (l) и (m) в пространстве можно провести плоскость (γ). Это означает, что A1В1A2В2 является плоским четырёхугольником лежащим в плоскости (γ). Рассмотрим далее треугольники A2ОВ2 и A1ОВ1. Покажем, что эти треугольники подобны, так как:

• прямые A1В1 и A2В2 являются параллельными;
• углы A1ОВ1 и A2ОВ2 равны друг другу как вертикальные;
• углы ОВ1A1 и ОВ2A2 равны друг другу как накрест лежащие;

Как известно, при пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскостью образуются две параллельные прямые. В нашем случае:

(α) || (β);

(A1В1) || (A2В2);

Далее, углы ОВ1A1 и ОВ2A2 равны в результате пересечения параллельных прямых (A1В1) и (A2В2) секущей (В1В2). Углы A1ОВ1 и A2ОВ2 равны как вертикальные при пересечении прямых (А1А2) и (В1В2).

Это означает, что треугольники A2ОВ2 и A1ОВ1 подобны.

Из подобия треугольников следует, что:

|A1В1| / |A2В2| = |В1О| / | ОВ2|;

Подставляя данные задачи получаем:

|A2В2| = |ОВ2| *|A1В1| / |В1О|;

|A2В2| = 4 * 12 /3 = 16 (см);

Ответ: длина отрезка А2В2 равна 16 см.

Пусть через точку О, лежащую между параллельными плоскостями α и β, проведены прямые l и m. Прямые l и m, пересекающиеся в точке О, задают плоскость γ. Прямая l пересекает плоскости α и β в точках А₁ и А₂ соответственно, прямая m – в точках В₁ и В₂, причём А₂В₂ | | А₁В₁, так как прямые А₂В₂ и А₁В₁ образованы при пересечении параллельных плоскостей l и m третьей плоскостью γ. Получившиеся треугольники ОА₂В₂ и ОА₁В₁ подобны по 1 признаку:

• ∠А₂ОВ₂ = ∠А₁ОВ₁ – как вертикальные;
• ∠А₂В₂О = ∠А₁В₁О – как накрест лежащие при А₂В₂ | | А₁В₁ и секущей В₁В₂.

Тогда соответствующие стороны треугольников пропорциональны: В₁О : В₂О = А₁В₁ : А₂В₂. Зная, что, А₁В₁ = 12 см, В₁О : ОВ₂ = 3 : 4, получаем длину отрезка А₂В₂ = 12 : (3/4) = 16 (см).

Ответ: А₂В₂ = 16 см.