В параллелограмме ABCD точка F лежит на диагонали AC AF:FC=4:3 . Выразите вектор BF через векторы BA=a и BC=b

Рис.1 http://bit.ly/2vHdXeSвектор АС = вектор b – вектор а;вектор BF = вектор a + вектор AF;вектор AF = 4/7 * вектор AC = 4/7 * (вектор b – вектор a);вектор BF = вектор a + 4/7 * (вектор b – вектор a);вектор BF = вектор a + 4/7 * вектор b – 4/7 вектор a;вектор BF = 3/7 * вектор a + 4/7 * вектор b.Ответ: вектор BF = 3/7 * вектор a + 4/7 * вектор b.

Возьмем параллелограмм ABCD. Проведем в нем диагональ AC. Пусть точка F на отрезке АС такая, что:

|AF| / |FC| = 4/3;

Обозначим вектор BA ̅ через a ̅ и вектор BC ̅ через b ̅. Требуется выразить вектор BF ̅ через векторы a ̅ и b ̅.

Операции с векторами

Для сложения двух векторов m ̅ и n ̅, необходимо:

• переместить параллельным переносом векторы так, чтобы начало второго вектора n ̅ совпало с концом первого вектора m ̅;
• нарисовать отрезок, соединив начало вектора m ̅ с концом n ̅;
• отметить новый вектор k ̅, совпадающий с полученным отрезком и направленный от начала первого вектора m ̅ к концу второго вектора n ̅, k ̅ = m ̅ + n ̅.

Вычитание векторов (m ̅ - n ̅) равнозначно сложению вектора m ̅ с вектором (- n ̅), который совпадает с вектором n ̅ и имеет противоположное направление.

В нашем случае:

AB ̅ = - BA ̅ = - а ̅;

AС ̅ = AВ ̅ + BС ̅ = - а ̅ + b ̅ = b ̅ - а ̅;

Заметим, что если вектор l ̅ коллинеарен вектору m ̅ и в p раз длиннее или короче него, то:

l ̅ = ± p * m ̅;

Знак выбирается в зависимости от одинаковой (+) или противоположной (-) направленности векторов.

Выражение для BF̅

Зная, что:

|AF| / |FC| = 4/3;

получаем:

|AF| = 4/3 * |FC|;

|АC| = |AF| + |FC| = 4/3 * |FC| + |FC| = 7/3 * |FC|;

Соответственно:

AС ̅ = 7/3 * FC ̅;

FC ̅ = 3/7 * AС ̅;

Заметим, что:

BF ̅ = BC ̅ + CF ̅ = b ̅ + CF ̅;

СF ̅ = - FC ̅ = - 3/7 * AС ̅;

Подставив выражение для AС ̅, получаем:

СF ̅ = - 3/7 * (b ̅ - а ̅);

BF ̅ = b ̅ - 3/7 * (b ̅ - а ̅) = 3/7 * а ̅ + 4/7 * b ̅;

Ответ: BF ̅ = 3/7 * а ̅ + 4/7 * b ̅