Билет №1.

1.      

Треугольник. Виды треугольников. Равные треугольники. (Определения). Первый признак равенства треугольников (доказательство).

2.     

Углы треугольника относятся как 1:3:5. Найти все углы данного треугольника.

3.     

Тема: «Теорема о сумме углов треугольника»

Билет №2

1.     

Треугольник. Виды треугольников. Равные треугольники. (Определения). Второй признак равенства треугольников (доказательство).

2.     

При пересечении двух параллельных прямых секущей один из углов в 2 раза больше другого. Найти все получившиеся углы.

3.     

Тема: «Свойства углов при параллельных прямых и секущей»

Билет №3

1.     

Треугольник. Виды треугольников. Равные треугольники. (Определения). Третий признак равенства треугольников (доказательство).

2.     

Отрезки АС и ВD в точке пересечения делятся пополам. Докажите, что параллельны и равны отрезки: АВ и СD.

3.     

Тема: «Расстояние между параллельными прямыми»

Билет №4

1.     

Треугольник. Медиана, биссектриса и высота треугольника. Равносторонний треугольник. Равнобедренный треугольник. (Определения). Свойства равнобедренного треугольника (доказательства).

2.     

Внешний угол треугольника равен 140◦, а внутренние углы, не смежные с ним относятся как 3:4. Найдите все внутренние углы треугольника.

3.     

Тема: «Признаки параллельности двух прямых»

Билет №5

1.     

Параллельные прямые. Понятие секущей. Углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей. (Определения). Признаки параллельности двух прямых. (Доказательства).

2.     

Периметр треугольника равен 36 см. Его стороны относятся как 2:3:4. Найти длины его сторон.

3.     

Тема: «Признаки равнобедренного треугольника»

Билет №6.

1.      

Угол, элементы угла. Виды углов. Смежные углы. Вертикальные углы. (Определения). Свойство смежных углов (доказательство). Свойство вертикальных углов (доказательство).

2.      Две параллельные прямые пересечены третьей. Найти все получившиеся углы, если один из внутренних односторонних углов больше другого на 36⁰.

3. Тема: «Признаки равенства двух треугольников»

 Доказать, что

3.     

Тема: «Теорема о сумме углов треугольника. Признаки равнобедренного треугольника»

Билет №7

1.     

Параллельные прямые. Понятие секущей. Углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей. (Определения). Свойства углов при параллельных прямых и секущей. (Доказательства).

2.     

На отрезке АВ длиной 20 см отмечена точка С. Найти длины отрезков АС и ВС, если отрезок АС на 4 см длиннее отрезка ВС.

3.     

Тема: «Теорема о сумме углов треугольника. Свойства равнобедренного треугольника»

Билет №8

1.     

Параллельные прямые. (Определение). Аксиома параллельных прямых. (Формулировка). Следствия из аксиомы параллельных прямых. (Доказательства).

2.     

Найти смежные углы, если один из них на меньше другого.

3.     

Тема: «Свойства смежных и вертикальных углов»

Билет №9

1.     

Треугольник. Виды треугольников. (Определения). Теорема о сумме внутренних углов треугольника. (Доказательство). Внешний угол треугольника. (Определение). Свойство внешнего угла треугольника. Сумма внешних углов треугольника. (Доказательства).

2.     

3.     

Тема: «Признаки равенства двух треугольников»

Билет №10

1.     

Треугольник. Виды треугольников. (Определения). Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника. (Доказательство). Следствия из теоремы. (Формулировки).

2.     

Два смежных угла относятся как 2:7. Найти эти углы.

3.     

Тема: «Признаки параллельности двух прямых»

Билет №11

1.     

Треугольник. Виды треугольников. (Определения). Неравенство треугольника. (Доказательство). Следствия из теоремы. (Формулировки).

2.     

В равнобедренном треугольнике длина боковой стороны равна 25 см. периметр равен 90 см. Найти основание.

3.     

Тема: «Теорема о сумме углов треугольника»

Билет №12

1.     

Треугольник. Виды треугольников. (Определения). Некоторые свойства прямоугольных треугольников. (Доказательства).

2.     

В треугольнике АВС АD – биссектриса.

3.     

Тема: «Теорема о сумме углов треугольника. Внешний угол треугольника»

Билет №13

1.     

Треугольник. Равные треугольники. Виды треугольников. (Определения). Признаки равенства прямоугольных треугольников. (Доказательства).

2.     

Высота треугольника делит угол, из вершины которого она опущена, на два угла, содержащие 30⁰ и 40⁰. Найти все углы данного треугольника.

3.     

Тема: «Свойство внешнего угла треугольника»

Билет №14

1.     

Перпендикуляр и наклонная, проведенные из данной точки к данной прямой. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между двумя параллельными прямыми. (Определения). Теорема о перпендикуляре и наклонной, проведенных из точки к прямой. Теорема о точках двух параллельных прямых. (Доказательства).

2.     

3.     

Тема: «Свойства прямоугольных треугольников»

Билет №15

1.     

Задачи на построение: а) угла, равного данному; б) биссектрисы угла; в) середины отрезка; г) перпендикуляра к прямой, проведенного из точки, не лежащей на данной прямой; д) прямой, перпендикулярной к данной, проходящей через точку, лежащую на данной прямой (построения, доказательства).

2.     

3.     

Тема: «Свойства равнобедренного треугольника»

Билет №16

1.     

Задачи на построение треугольника: а) по двум сторонам и углу между ними; б) по стороне и двум прилежащим к ней углам; в) по трем сторонам (построения, доказательства). Всегда ли задачи имеют решение?

2.     

Две параллельные прямые пересечены третьей. Найти все получившиеся углы, если один из внутренних односторонних углов больше другого на 36⁰.

3.     

Тема: «Признаки равенства двух треугольников»

Билет 1

1.треугольник - Геометрическая фигура, образованная тремя пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла, а также всякий предмет, устройство такой формы.

• Остроугольный треугольник – это треугольник, у которого все углы острые, то есть меньше 90°.
• Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого один из углов является прямым, то есть равен 90°. ...
• Тупоугольный треугольник – это треугольник, у которого один из углов является тупым, то есть больше 90°.

равные - Два треугольника, которые можно совместить наложением, называются равными. ... Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

2.( по теореме о сумме углов в треугольнике)

уголA+уголB+уголC=180градусов

Уравнение:

Пусть Х будет угол А, тогда 3Х угол В, а 5Х угол С

Х+3Х+5Х=180

следовательно

9Х=180

Х=180:9

Х=20градусов

20 умножить на 3 равно 60 градусов

20 умножить на 5 равно 100 градусов

Ответ: получили угол А=20градусов, угол В= 60 градусов, угол С= 100 градусов.

3.Сумма всех трёх углов треугольника равна сумме углов ABD и BAC. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных AC и BD при секущей AB, то их сумма равна 180°.

билет 2

1. тоже самое. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
2. Теорема о сумме углов треугольника — классическая теорема евклидовой геометрии. ... Сумма всех трёх углов треугольника равна сумме углов ABD и BAC. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных AC и BD при секущей AB, то их сумма равна 180°. Что и требовалось доказать.
3. Если внутренние накрест лежащие углы при двух прямых и секущей равны, то эти две прямые параллельны. 2. Если сумма внутренних односторонних углов при двух прямых и секущей равна 180∘, то эти две прямые параллельны.

билет 3

1. тоже самое. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого, то такие треугольники равны. Доказательство: ... Докажем, что эти треугольники равны.
2. Получилось у нас два треугольника. АО=ОС по условию, ВО=ОД по условию, угол ВОА=СОД как вертикальные, значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. В равных треугольниках соответственные элементы равны, значит, АВ=СД. рассмотрим прямые ВА и СД и секущую АС, так как треугольники равны, значит ВАС=АСД. Эти углы являются накрест лежащими. А если на крест лежащие углы равны, то прямые параллельны, что и требовалось доказать.
3. Расстояние между двумя параллельными прямыми – это расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой.

билет 4

1. медиана - линия, соединяющая вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Биссектриса - прямая, делящая угол пополам. Высота треугольника - перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону. Равсторонний треугольник - это такой треугольник ABC, у которого все стороны равны: AB = BC = AC. Свойства равностороннего треугольника. Равнобедренный треугольник - треугольник, в котором две стороны равны между собой по длине. Боковыми называются равные стороны. Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный. Если высота треугольника совпадает с его медианой, то такой треугольник — равнобедренный. Если высота треугольника совпадает с его биссектрисой, то такой треугольник — равнобедренный.
2. Если внешний угол треугольника равен 140 градосув, то внутренний - сумежный с ним будет равен 40 градусов. 180-140=40. Сумма всех углов треугольника равна 180 градусов. 1 угол мы нашли, значит на остальные 2 угла у нас идёт 180-40=140 градусов. (сумма остальных 2-ух углов.) Если они относятся как 3:4, то делаем уравнение. Пусть "х" - одна составная часть, тогда 3х - это второй угол, а 4х - это третий угол. 3х+4х=140 7х=140 х=20 градусов.

 1) 20*3=60 градусов - второй угол

2) 20*4=80 градусов - третий угол.

3.Признаки равнобедренного треугольника

• Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный.
• Если высота треугольника совпадает с его медианой, то такой треугольник — равнобедренный.
• Если высота треугольника совпадает с его биссектрисой, то такой треугольник — равнобедренный.

билет 5

1.Параллельные прямые – это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются, сколько бы их не продолжали. Секущая - прямая линия, пересекающая кривую в двух или более точках.

При пересечении прямых секущей образуются такие пары углов: Углы, лежащие между прямыми и по одну сторону секущей, называются внутренними односторонними углами. Углы, лежащие между прямыми и по разные стороны от секущей, называются внутренними разносторонними углами.Признаки параллельности двух прямых:

• Если при пересечении двух прямых секущей, накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
• Если при пересечении двух прямых секущей, соответственные углы равны, то прямые параллельны.

2.Пусть х коеф. пропор. х- тогда 2х + 3х+4х= 36

9х=36

х=4

Тогда первая сторона 2х= 2*4=8

Вторая сторона 3х=3*4=12

Третья сторона 4х=4*4=16

 3.Признаки равнобедренного треугольника

• Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный.
• Если высота треугольника совпадает с его медианой, то такой треугольник — равнобедренный.
• Если высота треугольника совпадает с его биссектрисой, то такой треугольник — равнобедренный.

Билет 6

1.Угол — часть плоскости между двумя линиями, исходящими из одной точки. Острый угол (от 0° до 90°, не включая граничные значения). Прямой угол (90°); стороны прямого угла перпендикулярны друг другу. Тупой угол (от 90° до 180°, не включая граничные значения). Косой угол (любой, не равный 0°, 90°, 180° или 270°).Сме́жные углы́ — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие дополняют друг друга до прямой. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны. Сумма смежных углов равна 180⁰. Если два угла равны, то и смежные с ними углы равны. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны. Аксиома– положение, принимаемое без доказательств.

2.сумма односторонних углов при пересечении секущей парал. прямых 180*

х - 1й угол

х +36 -2й

 х+(х+36) = 180

2х = 144

х= 72 - 1й угол

108 - 2-й угол

3.Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то треугольники равны.

Билет 7

1.тоже самое +1. Если внутренние накрест лежащие углы при двух прямых и секущей равны, то эти две прямые параллельны. 2. Если сумма внутренних односторонних углов при двух прямых и секущей равна 180∘, то эти две прямые параллельны.

2.AC = x => CB = x-4

x+x-4=20

2x=24

x=12

Ответ: AC=12 см

3.В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Углы при основании в равнобедренном треугольнике — всегда острые. Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.

билет 8

1.Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. ... Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.Следствия из аксиомы параллельных прямых.

2.картинка не прогружена.

3.Два смежных углы образуют развернутый угол. Если два угла равны, то смежные с ними углы тоже равны. ... Если два смежных углы равны, то они прямые. Вертикальными называются два угла, стороны одного из которых являются дополнительными лучами до сторон другого угла.