Диагональ прямоугольного параллелепипеда больше сторон основания на 3 и 2см. Найти площадь полной поверхности, если высота

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2xbQZLz).

Пусть АД1 равна Х см, тогда, по условию, ВД = (Х – 3) см, АВ = (Х – 2) см.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: АД1Д и АВД, у которых АД является в одном треугольнике катетом, в другом – гипотенузой. Выразим АД в обоих треугольниках по теореме Пифагора.

АД² = АД1² – ДД1² = Х² – (2 * √2)² = Х² – 8.

АД² = АВ² + ВД² = (Х – 2)² + (Х – 3) = Х² – 4 * Х + 4 + Х² – 6 * Х + 9 = 2 * Х² – 10 * Х + 13.

Приравняем правые части уравнений.

Х² – 8 = 2 * Х² – 10 * Х + 13.

Х² – 10 * Х + 21 = 0.

Решим квадратное уравнение.

D = b² – 4 * a * c = (-10)² – 4 * 1 * 21 = 100 - 84 = 16.

Х₁ = (10 - √16) / (2 * 1) = (10 – 4) / 2 = 6 / 2 = 3. (Не подходит, так как тогда ВД = (Х – 3) = 0).

X₂ = (10 + √16) / (2 * 1) = (10 + 4) / 2 = 14 / 2 = 7.

Тогда, ВД = 7 – 3 = 4 см, АВ = 7 – 2 =  5 см.

Определим площадь основания.

Sосн = АВ * ВД = 5 * 4 = 20 см².

Определим площадь боковой поверхности.

Sбок = Р * h, где Р – периметр основания, h – высота.

Sбок = 2 * (АВ + ВД) * ДД1 = 2 * 9 * 2 * √2 = 36 * √2.

Тогда Sпол = 2 * Sосн + Sбок = 2 * 40 + 36 * √2 = 80 + 36 * √2.

Ответ: Sпол = 80 + 36 * √2 см².