Высота конуса равна 12 см , а угол при вершине осевого сечения равен 120° . Найдите площадь полной поверхности конуса.

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2Tj753a).

Осевое сечение АВС конуса есть равнобедренный треугольник с углом при вершине С равным 120⁰. Высота ОС конуса, есть высота, биссектриса и медиана треугольника АВС, тогда угол АСО = АСВ / 2 = 120 / 2 = 60⁰.

В прямоугольном треугольнике АОС, через угол и катет определим длину гипотенузы и второго катета.

Cos60 = ОС / АС.

АС = ОС / Cos60 = 12 / (1 / 2) = 24 см

tg60 = AO / OC.

AO = OC * tg60 = 12 * √3 см.

Определим площадь основания конуса.

Sосн = п * R² = п * 432 см².

Определим площадь боковой поверхности конуса.

Sбок = п * R * L = п * АО * АС = п * 12 * √3 * 24 = п * 288 * √3 см².

Тогда Sпов = Sосн + Sбок = п * 432 + п * 288 * √3 = 144 * (3 + 2 * √3) см².

Ответ: Площадь поверхности конуса равна 144 * (3 + 2 * √3) см².