Треугольник FRT задан координатами своих вершин: F(2;-2), R(2;3), T(-2;1). а) Докажите, что треугольник FRT – равнобедренный.

F(2; -2), R(2; 3), T(-2; 1)

а) Найдем длины сторон треугольника по формуле: если точки А и В заданы своими координатами А(х; у) и В(х1; у1), то |АВ|= √[(х1 - х)² + у1 - у)²].  

|FR| = √[(2 - 2)² + (3 - (-2))²] = √[0 + 25] = 5 ед.

|RT| = √[((-2) - 2)² + (1 - 3)²] = √[16 + 4] =√20 = 2√5 ед.

|FT| =√[((-2) - 2)² + (1 - (-2)²] = √[16 + 9] = √25 = 5 ед.

Заметим, что |FR| = |FT| =5 ед., значит в заданном треугольнике две стороны равны между собой по длине, что является определением равнобедренного треугольника. Ч.т.д.

б) Итак, мы доказали, что наш треугольник - равнобедренный, значит высота FO проведенная на сторону TR является и его медианой (по свойству равнобедренного  треугольника), и следовательно точка О делит сторону TR пополам, т.е TO = TR.

Зная координаты точек T(-2; 1) и R(2; 3) можем найти координату точки О, а затем и длину FO.

Координаты точки О, как середины отрезка TR: (^{-2 + 2}/₂; ^{1 + 3}/₂) = О (0; 2).

Имеем F(2; -2) и О(0; 2).

|FО| = √[(0 - 2)² + (2 - (-2))²] = √[4 + 16] = √20 = 2√5 ед.