Высоты AT и BD треугольника ABC пересекаются в точке O. Известно ,что OT=2см, OD=3см, уголOAD=30.Вычислите площадь треугольника

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2C1qzj8).

Рассмотрим прямоугольный треугольник АДО, у которого, по условию, угол ДАО равен 30⁰, тогда катет ОД лежит против этого угла и равен половине длины гипотенузы АО. ОД = АО / 2. АО = 2 * ОД = 2 * 3 = 6 см.

Рассмотрим два треугольника, АДО и ВТО. Оба треугольника прямоугольные с прямыми углами Д и Т. Угол АОД = ВОТ как вертикальные  углы при пересечении прямых АТ и ВД.

Тогда:

ОД / ОТ = АО / ВО.

3 / 2 = 6 / ВО.

ВО = 2 * 6 / 3 = 4 см.

Тогда высота ВД = ВО + ДО = 4 + 3 = 7 см.

Определим площадь треугольника АВС.

Из прямоугольного треугольника АТС определим гипотенузу АС.

CosТАС = АТ / АС.

АС = АТ / Cos30⁰ = (AO + OT) /  Cos30⁰ = 8 / (√3 / 2) = 16 / √3 см.

S = АС * ВД / 2 = (16 / √3) * 7 / 2 = 56 / √3 см².

Ответ: Площадь треугольника равна 56 / √3 см².