В ромбе ABCR точка S-середина стороны CR. Известно, что SA=SB. Докажите, что данный ромб - квадрат.

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2BSxNFy).

Докажем, что треугольники ASR и BCS равны.

По условию, AS = BS, отрезок RS = CS, так как точка S есть середина отрезка RC, отрезок ВС = AR как стороны ромба.

Тогда треугольники ASR и BCS равны по трем сторонам.

Угол ARS треугольника ARS равен углу BCS треугольника BCS как соответственные углы равных треугольников.

Так как противоположные стороны ромба параллельны, то угол ARS и BCS есть внутренние односторонние углы при пресечении параллельных прямых AR и ВС секущей RC, сумма которых равна 180⁰.

Тогда ARS + BCS = 180⁰.

 ARS = BCS.

2 * ARS = 180.

ARS = BCS = 180 / 2 = 90⁰.

Тогда ромб является квадратом, что и требовалось доказать.