1. AMCN- параллелограмм. Точки B и D лежат на прямых AM и CN за точками M и N соответственно так , что BM=DN. Докажите

1).

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2OXHmqm).

Докажем, что треугольники МВС и NDA равны.

AN = ВС, так как противоположные стороны параллелограмма, ВМ = DN по условию.

Угол ВМС = 180 – АМС, а угол АND = 180 – ANC.

Угол  ANC = АМС как противоположные углы параллелограмма, значит и угол ВМС = АND.

Треугольники МВС и NDA равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, у них все углы равны, и угол МВС = AND.

Угол ВАD = BAN +NAD, а угол ВСD = MCN + BCM. Так как  BCM = NAD, то и ВАD = ВСD.

Четырехугольник, у которого противоположные углы равны является параллелограммом, что и требовалось доказать.

2).

Пусть меньшая сторона параллелограмма равна Х см, тогда большая будет (Х + 3) см.

Периметр параллелограмма будет равен 2 * Х + 2 * (Х + 3) = 42.

4 * Х = 42 – 6 = 36.

Х = 36 / 4 = 9 см.

Длина меньшей стороны 9 см, тогда большей – 9 + 3 = 12 см.

Ответ: Стороны параллелограмма равны 9 см и 12 см.

3).

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2MyO1uF).

Докажем, что треугольники АВЕ и СДР равны.

Углы Е и Р треугольников прямые, так как ВА и ДР высоты к диагонали АС, значит треугольники прямоугольные.

Стороны АВ и СД треугольников равны как противоположные стороны параллелограмма.

Углы ВАЕ и РСД равны как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АД и ВС секущей АС, значит прямоугольные треугольники АВЕ и СДР равны по гипотенузе и острому углу, а значит, что АЕ = СР, а следовательно и АР = СЕ, так как АР = АЕ + ЕР и СЕ = СР + ЕР , что и требовалось доказать.