В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса прямого угла. Через точку пересечения этой биссектрисы с гипотенузой

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2X2TwCD).

Так как, по условию, МК параллельно ВС, НК параллельна катету АВ, то четырехугольник ВНКМ параллелограмм.

Отрезок ВК есть биссектриса угла В, а следовательно и биссектриса угла К, так как у параллелограмма противоположные углы равны. Тогда в треугольниках ВМК и ВНК углы при общем основании равны, следовательно треугольники равнобедренные, ВН = НК, ВМ = МК, тогда ВНКМ ромб.

Так как угол В = 90⁰, то и угол К = 90⁰, а тогда четырехугольник ВНКМ – квадрат, что и требовалось доказать.