В прямоугольном треугольнике с гипотенузой равной 10 и одним из катетов равным 8 , из острого угла проведена биссектриса.

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2U2nowU).

По теореме Пифагора определим длину катета ВС.

ВС² = АС² – АВ² = 100 – 64 = 36.

ВС = 6 см.

Определим площадь треугольника АВС.

Sавс = АВ * ВС / 2 = 8 * 6 / 2 = 24 см².

Биссектриса ВК делит треугольник АВС на два треугольника, сумма площадей которых равна площади треугольника АВС.

Sавк = АВ * ВК * Sin45 / 2.

Sвск = ВС * ВК * Sin45 / 2.

Sавс = Sавк + Sвск = (АВ * ВК * Sin45 + ВС * ВК * Sin45) / 2 = ВК * Sin45 * (AB + BC) / 2.

BK = 2 *  Saвс  / Sin45 * (AB + BC) = 2 * 24 * 2 / √2 * 14 = 48 * √2 / 14 = 24 * √2 / 7 см.

Ответ: Длина медианы ВК равна 24 * √2 / 7 ≈ 4,85 см.