Хорда окружности равна 12 и стягивает дугу в 120 градусов. Найдите длину дуги и площадь соответствующего сектора.

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2TtUJ4F).

Из точки О, центра окружности, проведем отрезки ОА и ОВ, равные радиусу окружности.

Центральный угол АОВ равен градусной мере дуги, стягивающей хордой АВ. Угол АОВ = 120⁰.

Треугольник АОВ равнобедренный, так как ОА = ОВ = R.

Проведем высоту ОН, которая так же медиана и биссектриса треугольника АОВ, тогда АН = ВН = АВ / 2 = 12 * / 2 = 6 см.

В прямоугольном треугольнике АОН угол АОН = АОВ / 2 = 120 / 2 = 60⁰,  тогда ОА = R = АН / Sin60⁰ =

6 * / (√3 / 2) = 12 / √3 см.

Определим длину дуги АВ по формуле: L = п * R * α / 180⁰, где R – радиус окружности, а α – угол между радиусами.

L = п * (12 / √3) * 120 / 180 = (8 * п) / √3  cм.

Определим площадь сектора ОАВ.

Sоав = п * (12 / √3)² * α / 360 = (п * 144 * 120) / 3 / 360 = 16 * п  см².

Ответ: Длина дуги равна (8 * п) / √3 cм, площадь сектора равна 16 * п см².